Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，EC和DF相等嗎？說明理由．
如圖2，若直線EF平移到與直徑AB相交于點(diǎn)P（P不與A、B重合），在其他條件不變的情況下，原結(jié)論是否改變？為什么？
如圖3，當(dāng)EF∥AB時(shí)，情況又怎樣？
如圖4，CD為弦，EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，EC、FD分別交直徑AB于E、F兩點(diǎn)，你能說明AE和BF為什么相等嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,梯形中位線定理

專題：常規(guī)題型

分析：（1）如圖1，作OM⊥EF于M點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得CM=DM，再利用AE⊥CD，BF⊥CD得AE∥OM∥BF，可判斷OM為梯形ABFE的中位線，所以EM=FM，于是得到EC=DF；
（2）如圖2，與（1）一樣可得CM=DM，EM=FM，則EC=DF；
（3）如圖3，當(dāng)EF∥AB時(shí)，與（1）一樣可證得EC=DF；
（4）如圖4，作OM⊥EF于M點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得CM=DM，再證明OM為梯形CDFE的中位線，則OE=OF，易得AE=BF．

解答：解：（1）如圖1，EC和DF相等．理由如下：
作OM⊥EF于M點(diǎn)，則CM=DM，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OM∥BF，
而OA=OB，
∴OM為梯形ABFE的中位線，
∴EM=FM，
∴EM-CM=FM-DM，
即EC=DF；
（2）結(jié)論不改變．如圖2，與（1）一樣可得CM=DM，EM=FM，
則CM-EM=DM-FM，
即EC=DF；
（3）如圖3，當(dāng)EF∥AB時(shí)，與（1）一樣可證得EC=DF；
（4）如圖4，作OM⊥EF于M點(diǎn)，則CM=DM，
∵EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，
∴CE∥OM∥DF，
∴OM為梯形CDFE的中位線，
∴OE=OF，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了梯形的中位線定理．