Question

7．（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．求：
①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
②線段OD的長；
③∠BDC的度數(shù)．
（2）如圖2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，∠ODC=90°？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=60°，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；
②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD，加上∠OBD=60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以O(shè)D=OB=4；
③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，則可判斷△OBD為等腰直角三角形，則OD=$\sqrt{2}$OB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當(dāng)CD²+OD²=OC²時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°．

解答 解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，
∴∠OBD=∠ABC=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；
②∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，
∴BO=BD，
而∠OBD=60°，
∴△OBD為等邊三角形；
∴OD=OB=4；
③∵△BOD為等邊三角形，
∴∠BDO=60°，
∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，
∴CD=AO=3，
在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，
∵3²+4²=5²，
∴CD²+OD²=OC²，
∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；
（2）OA²+2OB²=OC²時(shí)，∠ODC=90°．理由如下：
∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，
∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，
∴△OBD為等腰直角三角形，
∴OD=$\sqrt{2}$OB，
∵當(dāng)CD²+OD²=OC²時(shí)，△OCD為直角三角形，∠ODC=90°，
∴OA²+2OB²=OC²，
∴當(dāng)OA、OB、OC滿足OA²+2OB²=OC²時(shí)，∠ODC=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．