Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線AE：與拋物線相交于另一點(diǎn)E，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求直線BC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖2，直線AE上方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作平行于軸的直線交直線BC于點(diǎn)G，當(dāng)△PFG周長(zhǎng)最大時(shí)，在軸上找一點(diǎn)M，在AE上找一點(diǎn)N，使得值最小，請(qǐng)求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小值；

（3）在第（2）問的條件下，點(diǎn)R為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S，使以點(diǎn)N，E，R，S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；E（，）；（2）N（1，0）；最小值為；

（3）S1（，），S2（，），S3（，），S4（，）

【解析】

（1）首先求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
（2）由△PGF∽△OBC可得：，則，當(dāng)PG取最大值時(shí)，△PFG周長(zhǎng)最大，設(shè)，進(jìn)而表示出,根據(jù)二次函數(shù)最值的求法即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，將直線AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)°得直線，且滿足，過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)K，交直線AE于點(diǎn)N，此時(shí)最小,求解即可.

（3）分四種情況，分別畫出示意圖，求解即可.

解：（1）由拋物線解析式得B（4，0），C（0，-2），

設(shè)直線BC解析式為：，代入B、C坐得：，

∴，，

∴BC解析式為：，

聯(lián)立，

解得；

（2）由△PGF∽△OBC可得：，

∴，

∴當(dāng)PG取最大值時(shí)，△PFG周長(zhǎng)最大，

設(shè)，

∴，

∴ ，

∵對(duì)稱軸為直線a=2，開口向下，

∴當(dāng)時(shí)，PG取得最大值，即△PFG周長(zhǎng)最大，此時(shí)P（2，），

作點(diǎn)P關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（2，-），

將直線AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)°得直線，且滿足，

過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)K，交直線AE于點(diǎn)N，

此時(shí)最小，

∴直線解析式為，

直線的解析式為，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

K點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴；

（3），，，．