Question

【題目】如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，并將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE

（1）求證：∠ADB＝∠AEC；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，連接DE交AC于點(diǎn)F，直接寫出長度等于CF的所有線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD、AE、DE

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可知AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用SAS證明△BAD≌△CAE，最后即可證明結(jié)論；

（2）先證明△ADE是等邊三角形，據(jù)此得出AD＝AE＝DE，然后利用等邊三角形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)進(jìn)一步得出答案即可.

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，

∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC；

（2）∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC，

∵AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE＝DE，

∵△BAD≌△CAE，

∴∠BAD＝∠CAE＝30°，CD＝CE，∠ACD＝∠ABC＝∠ACE＝60°，

∵CD＝CE，AD＝AE，

∴AC⊥DE，且∠ACD＝60°，

∴DF＝CF，且AC⊥DE，∠DAC＝30°

∴AD＝2CF＝AE＝DE．