【題目】拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于A,B兩點(diǎn),(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣2,0)、(8,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交BD于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究m為何值時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形?
(3)在(2)的結(jié)論下,試問拋物線上是否存在點(diǎn)N(不同于點(diǎn)Q),使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將A(﹣2,0),B(8,0)代入拋物線y=ax2+bx﹣4得:

,

解得: ,

∴拋物線的解析式:y= x2 x﹣4


(2)

解:當(dāng)x=0時(shí),y=﹣4,

∴C(0,﹣4),

∴OC=4,

∵四邊形DECB是菱形,

∴OD=OC=4,

∴D(0,4),

設(shè)BD的解析式為:y=kx+b,

把B(8,0)、D(0,4)代入得:

解得: ,

∴BD的解析式為:y=﹣ x+4,

∵l⊥x軸,

∴M(m,﹣ m+4)、Q(m, m2 m﹣4),

如圖1,∵M(jìn)Q∥CD,

∴當(dāng)MQ=DC時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形,

∴(﹣ m+4)﹣( m2 m﹣4)=4﹣(﹣4),

化簡得:m2﹣4m=0,

解得m1=0(不合題意舍去),m2=4,

∴當(dāng)m=4時(shí),四邊形CQMD是平行四邊形


(3)

解:如圖2,要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,N點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等;

設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,

把B(8,0)、C(0,﹣4)代入得: ,

解得:

∴直線BC的解析式為:y= x﹣4,

由(2)知:當(dāng)P(4,0)時(shí),四邊形DCQM為平行四邊形,

∴BM∥QC,BM=QC,

得△MFB≌△QFC,

分別過M、Q作BC的平行線l1、l2,

所以過M或Q點(diǎn)的斜率為的 直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求,

當(dāng)m=4時(shí),y=﹣ m+4=﹣ ×4+4=2,

∴M(4,2),

當(dāng)m=4時(shí),y= m2 m﹣4= ×16﹣ ×4﹣4=﹣6,

Q(4,﹣6),

①設(shè)直線l1的解析式為:y= x+b,

∵直線l1過Q點(diǎn)時(shí),

∴﹣6= ×4+b,b=﹣8,

∴直線l1的解析式為:y= x﹣8,

,

= x﹣8,

解得x1=x2=4(與Q重合,舍去),

②∵直線l2過M點(diǎn),

同理求得直線l2的解析式為:y= x,

,

= x,

x2﹣x﹣16=0,

解得x1=4+4 ,x2=4﹣4 ,

代入y= x,得 ,

則N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ),

故符合條件的N的坐標(biāo)為N1(4+4 ,2+2 ),N2(4﹣4 ,2﹣2 ).


【解析】(1)直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,列方程組可求a、b的值,寫出解析式即可;(2)先求點(diǎn)C和D的坐標(biāo),求直線BD的解析式,根據(jù)橫坐標(biāo)m表示出點(diǎn)Q和M的縱坐標(biāo),由MQ∥CD,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,證明MQ=CD即可,因此列等式:(﹣ m+4)﹣( m2 m﹣4)=4﹣(﹣4),求m即可;(3)要使三角形BCN的面積等于三角形BCQ的面積,可先判斷四邊形CQBM是平行四邊形,解得M點(diǎn)到BC的距離與Q到BC的距離相等,所以過M或Q點(diǎn)的與直線BC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求,列方程組可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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2當(dāng)AE= cm時(shí),四邊形CEDF是矩形;當(dāng)AE= cm時(shí),四邊形CEDF是菱形.(直接寫出答案,不需要說明理由)

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