Question

12．如圖，直線y=-x+3與x軸交于A點，與y軸交于B點，對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，拋物線與對稱軸交于D點，連接CE、CB、BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：BD∥CE；
（3）在直線AB上是否存在點P，使以B、D、P為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B、A點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱，可得C點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的判斷與性質(zhì)，可得∠BDF=∠CEG，根據(jù)平行線的判定，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=3，即B點（0，3），當(dāng)y=0時，x=3，即A點坐標(biāo)為（3，0），
由A、C關(guān)于x=1對稱，得C（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）證明：如圖1，
作BF⊥DE于F，F(xiàn)點的坐標(biāo)為（1，3），D（1，4），
BF=1，DF=4-3=1；
當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，即E點坐標(biāo)為（1，2），G（1，0），
EG=2，CG=2．
$\frac{BF}{CG}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{1}{2}$，∠BFD=∠CGE=90°，
∴△BFD∽△CGE，
∴∠BDF=∠CEG，
∴BD∥CE；
（3）設(shè)P點坐標(biāo)為（m，-m+3），E（1，2），B（0，3），
由勾股定理，得
BE=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+3-3）^{2}}$=$\sqrt{2{m}^{2}}$，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
①當(dāng)△BDP∽△ECB，
$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{\sqrt{2{m}^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得m=±$\frac{1}{2}$，
即P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
②當(dāng)△DBP∽△BEC時
$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BD}{BE}$，即$\frac{\sqrt{2{m}^{2}}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
∴m²=4，m=±2
∴P₃（2，1），P₄（-2，5）
在直線AB上存在點P，使以B、D、P為頂點的三角形與△BCE相似，P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），P₂（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（2，1），P₄（-2，5）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出∠BDF=∠CEG是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．