Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO（O為原點(diǎn)），點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）；將BCD沿BD折疊（D點(diǎn)在OC邊上），使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD的點(diǎn)F上．
（1）直接寫出∠ABE、∠CBD的度數(shù)，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過F點(diǎn)作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、H、D三點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）若點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在（2）中的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不含B、D點(diǎn)），過點(diǎn)P作PN⊥BC分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，設(shè)h=PM-MN，試求出h與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并畫出該函數(shù)的簡圖，分別寫出使PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠CBD、∠DBE、∠EBA都相等，因此∠ABE=∠CBD=30°；
在Rt△ABE中，已知了∠ABE=30°，而AB=OC=6，由此可求出BE即BC的長，即可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；在Rt△BCD中，已知∠CBD的度數(shù)及BC的長，通過解直角三角形可求出CD的長，也就得到了D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（2）由于∠AEB=∠BEF=60°，易求得∠FEG=60°；在Rt△BEF中，BE的長在（1）中已求得，∠EBF=30°，即可求出EF的長；進(jìn)而可在Rt△FEG中通過解直角三角形求出FG、GE的值，即可得到H點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)直線BD和拋物線的解析式分別表示出M、P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到MN、PM的表達(dá)式，也就能得到關(guān)于h、x的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)來判斷出PM＜NM、PM=MN、PM＞MN成立的x的取值范圍．

解答：解：（1）∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中，AB=6
BC=BE=

AB

cos30°

=4

3

CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B（4

3

，6），D（0，2）
設(shè)BD所在直線的函數(shù)解析式是y=kx+b；

4 3 k+b=6 b=2

，
∴

k= 3 3 b=2

；
所以BD所在直線的函數(shù)解析式是y=

3

3

x+2；

（2）∵EF=EA=ABtan30°=2

3

，∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°；
又∵FG⊥OA，
∴FG=EFsin60°=3，GE=EFcos60°=

3

，OG=OA-AE-GE=

3

又H為FG中點(diǎn)
∴H（

3

，

3

2

）（4分）
∵B（4

3

，6）、D（0，2）、H（

3

，

3

2

）在拋物線y=ax²+bx+c圖象上

48a+4 3 b+c=6 c=2 3a+ 3 b+c= 3 2

∴

a= 1 6 b=- 3 3 c=2

∴拋物線的解析式是y=

1

6

x2-

3

3

x+2；

（3）∵M(jìn)P=(

3

3

x+2)-(

1

6

x2-

3

3

x+2)=-

1

6

x2+

2 3

3

x
MN=6-(

3

3

x+2)=4-

3

3

x
h=MP-MN=(-

1

6

x2+

2 3

3

x)-(4-

3

3

x)=-

1

6

x2+

3

x-4
由-

1

6

x2+

3

x-4=0
得x1=2

3

，x2=4

3

該函數(shù)簡圖如圖所示：
當(dāng)0＜x＜2

3

時(shí)，h＜0，即PM＜MN
當(dāng)x=2

3

時(shí)，h=0，即PM=MN
當(dāng)2

3

＜x＜4

3

時(shí)，h＞0，即PM＞MN．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．