Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是__________；

（2）探究∠B與∠NMA的關(guān)系，并說明理由；

（3）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．

①求BC的長(zhǎng)；

②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最小？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；

（2）根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)系，可得答案；

（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，可得答案；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得P點(diǎn)與M點(diǎn)的關(guān)系，可得PB+PC與AC的關(guān)系．

【解答】解：（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是 50°，

故答案為：50°；

（2）猜想的結(jié)論為：∠NMA=2∠B﹣90°．

理由：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠A=180°﹣2∠B，

又∵M(jìn)N垂直平分AB，

∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．

（3）如圖：

①∵M(jìn)N垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周長(zhǎng)是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm．

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出PB=PA．