Question

11．如圖，已知AC=8，∠A=30°，∠C=105°，求AB和BC的長．

Answer 1

分析 過點C作CD⊥AB于D，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD，再根據(jù)∠C=105°，求出∠ACD和∠BCD的度數(shù)，根據(jù)勾股定理求出AD，再根據(jù)∠CDB=90°，求出∠CBD=∠BCD=45°，從而求出BD的值，最后根據(jù)AB=AD+DB，求出AB，再根據(jù)勾股定理求出BC即可．

解答 解：過點C作CD⊥AB于D，
∵∠B=30°，AC=8，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵∠C=105°，
∴∠ACD=90°-30°=60°，∠BCD=45°，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD=4，
∴AB=AD+DB=4$\sqrt{3}$+4，
BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了解直角三角形，用到的知識點是勾股定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出兩個特殊直角三角形是解題的關鍵．