Question

如圖，n+1個邊長為1的等邊三角形一邊均在同一直線上，設(shè)△BMN面積為S，△B₁M₁N₁面積為S₁，△B₂M₂N₂的面積為S₂，…，△B_nM_nN_n的面積記為S_n，則：
①S=________，
②請你計算歸納S₁，S₂，…，可得S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=________．

Answer 1

    
分析：①連接BB₁，由于△BAN是邊長為1的等邊三角形，則S_△BAN=．由于BN∥B₁A且BN=B₁A，則四邊形BNAB₁是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得出BM=AM，則S=S_△BAN=；
②連接B₁、B₂、B₃…B_n點(diǎn)，顯然它們共線且平行于NA_n，則B₁B₂∥NA，△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，然后根據(jù)三角形的面積公式得出S₁=×S_△BAN，同理，可求出S₂=×S_△BAN，…，S₂₀₁₁=×S_△BAN，最后將它們相加即可．
解答：①連接BB₁．
∵△BAN是邊長為1的等邊三角形，∴S_△BAN=．
∵∠BNA=∠B₁AA₂=60°，∴BN∥B₁A，
∵BN=B₁A，∴四邊形BNAB₁是平行四邊形，
∴BM=AM，
∴S=S_△BAN=；
②連接B₁、B₂、B₃…B_n點(diǎn)，顯然它們共線且平行于NA_n，則B₁B₂∥NA，
∴△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，
∴B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，
∴B₁N₁=AB₁，B₁M₁=A₂B₁，
∴S₁=×B₁N₁×B₁M₁sin∠N₁B₁M₁=×AB₁×A₂B₁sin∠N₁B₁M₁=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
同理，△B₂B₃N₂∽△A₂NN₂，△B₂B₃M₂∽△A₃NM₂，
∴B₂N₂：A₂N₂=B₂B₃：A₂N=1：2，B₂M₂：M₂A₃=B₂B₃：A₃N=1：3，
∴B₂N₂=A₂B₂，B₂M₂=A₃B₂，
∴S₂=×B₂N₂×B₂M₂sin∠N₂B₂M₂=×A₂B₂×A₃B₂=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
…，
∴S₂₀₁₁=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=（-）S_△BAN+（-）S_△BAN+…+（-）S_△BAN=（-）S_△BAN=×=．
故答案為：①；②．
點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的定義和性質(zhì)、三角形的面積公式等知識點(diǎn)、本題關(guān)鍵在于作好輔助線，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同學(xué)們總結(jié)歸納的能力．