如圖1,在等邊△ABC中,點D是邊AC的中點,點P是線段DC上的動點(點
P與點C不重合),連結(jié)BP. 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得
到△A1B1P,連結(jié)AA1,射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.
(1) 如圖1,當(dāng)0°<α<60°時,在α角變化過程中,△BEF與△AEP始終存在 ▲ 關(guān)
系(填“相似”或“全等”),并說明理由;
(2)如圖2,設(shè)∠ABP=β . 當(dāng)60°<α<180°時,在α角變化過程中,是否存在△BEF與△
AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)α=60°時,點E、F與點B重合. 已知AB=4,設(shè)DP=x,△A1BB1的面積為
S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
解: (1) 相似 ………………………………………………………………1分
由題意得:∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
則 ∠PAA1 =∠PBB1 = …………………………………2分
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP……………………………………………………………3分
(2)存在,理由如下: ………………………………………………………………4分
易得:△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP,只需要滿足BE=AE即可 ………………………5分
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE ……………………………………………6分
∴ 即α=2β+60° ……………………………………………7分
(3)連結(jié)BD,交A1B1于點G,過點A1作A1H⊥AC于點H.
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由題意得:AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等邊三角形
∴A1H= ………………………………………………………………8分
在Rt△ABD中,BD=
∴BG=…………………………………… 9分
∴ (0≤x<2)……………………10分
【解析】略
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