Question

【題目】類比特殊四邊形的學(xué)習(xí)，我們可以定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

探索體驗(yàn)

（1）如圖①，已知四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．

（2）如圖②，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”嗎？試說(shuō)明理由．

嘗試應(yīng)用

（3）如圖③，在邊長(zhǎng)為6的正方形木板ABEF上裁出“等對(duì)角四邊形”ABCD，若已經(jīng)確定DA=4，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF內(nèi)（包括邊上）存在一點(diǎn)點(diǎn)C，使四邊形ABCD以∠DAB=∠BCD為等對(duì)角的四邊形的面積最大？若存在，試求出四邊形ABCD的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠C=130°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）S四邊形ABCD=.

【解析】

（1）已知四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，根據(jù)定義即可求得∠D的度數(shù)，再由四邊形內(nèi)角和定理即可求得∠C的度數(shù)；（2）連接BD，由AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，可得∠ABD=∠ADC，△ABD與△CBD不相似，即∠A≠∠C，則可證得結(jié)論；（3）連接BD，由當(dāng)∠DAB=∠BCD=60°時(shí)，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，可得此時(shí)點(diǎn)C在BD為弦的 上，即可得要使四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，然后過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，作DM⊥BC于點(diǎn)M，利用勾股定理求解即可求得答案．

（1）∵四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；

（2）證明：如圖2，連接BD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，

∴∠ABC=∠ADC，

∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，

∴△ABD與△CBD不相似，

∴∠A≠∠C，

∴四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”．

（3）如圖3，連接BD，

當(dāng)∠DAB=∠BCD=60°時(shí)，四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，

此時(shí)點(diǎn)C在BD為弦的上，

要使四邊形ABCD的面積最大，則點(diǎn)C在邊BE上，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，作DM⊥BC于點(diǎn)M，

在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，

∴AH=2，DH=2，

∴BH=AB﹣AH=4，

∵四邊新DHBM是矩形，

∴BM=DH=2，DM=BH=4，

在Rt△DMC中，∠DCM=60°，

∴CM=DM=，

∴BC=BM+CM=2+=，

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=×6×2+××4=．