【題目】已知等邊AOB的邊長為4,以O為坐標原點,OB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

1)求點A的坐標;

2)若直線ykxk0)與線段AB有交點,求k的取值范圍;

3)若點Cx軸正半軸上,以線段AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ACD,求直線BD的解析式.

【答案】1)點A的坐標為(22);(20k;(3yx4

【解析】

1)如下圖所示,過點AADx軸于點D,則ADOAsinAOB4sin60°2,同理OA2,即可求解;

2)若直線ykxk0)與線段AB有交點,當直線過點A時,將點A坐標代入直線的表達式得:2k2,解得:k,即可求解;

3)證明ACO≌△ADBSAS),而∠DBC180°﹣∠ABO﹣∠ABD180°60°60°60°,即可求解.

解:(1)如下圖所示,過點AADx軸于點D,

ADOAsinAOB4sin60°,

同理OA2

故點A的坐標為(2,2);

2)若直線ykxk0)與線段AB有交點,

當直線過點A時,將點A坐標代入直線的表達式得:2k2,解得:k,

直線OB的表達式為:y0,而k0

故:k的取值范圍為:0k;

3)如下圖所示,連接BD

∵△OAB是等邊三角形,∴AOAB

∵△ADC為等邊三角形,∴ADAC,

OAC=∠OAB+CAB60°+CAB=∠DAC+CAB=∠DAB,

∴△ACO≌△ADBSAS),

∴∠AOB=∠ABD60°,

∴∠DBC180°﹣∠ABO﹣∠ABD180°60°60°60°,

故直線BD表達式的k值為tan60°=

設直線BD的表達式為:yx+b,

將點B4,0)代入上式得

解得:b=﹣4

故:直線BD的表達式為:yx4

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