Question

【題目】(1)如圖1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=110°，求∠APC的度數(shù)．小穎同學(xué)的解題思路是：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，請你接著完成解答；如圖3，點(diǎn)A、B在射線OM上，點(diǎn)C、D在射線ON上，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A、B、O三點(diǎn)不重合）．

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷∠CPD與∠ADP、∠BCP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷∠CPD與∠ADP、∠BCP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）∠CPD=∠ADP-∠BCP；∠CPD=∠BCP-∠ADP.

【解析】

（1）過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=130°；
（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，即可得出答案；
（3）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADP =∠DPE，∠BCP=∠CPE，即可得出答案．

解：（1）過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB =60°，∠CPE=180°-∠PCD =70°，
∴∠APC=60°+70°=130°；
（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP，理由如下：
如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ADP+∠BCP；

（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=∠BCP-∠ADP；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠BCP-∠ADP；

當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠ADP-∠BCP．
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠ADP =∠DPE，∠BCP =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠ADP-∠BCP．

故答案為：（1）∠APC=130°；（2）∠CPD=∠ADP+∠BCP；（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=∠BCP-∠ADP；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠ADP-∠BCP．