【題目】如圖1,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合.三角板的一邊交CD于點F,另一邊交CB的延長線于點G.
(1)求證:EF=EG;
(2)如圖2,移動三角板,使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上,其他條件不變,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,將(2)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”,且使三角板的一邊經過點B,其他條件不變,若AB=a,BC=b,請直接寫出的值.
【答案】(1)見解析;(2)成立;見解析;(3).
【解析】(1)由∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,可得∠DEF=∠GEB,又由正方形的性質,可利用ASA證得Rt△FED≌Rt△GEB,則問題得證;(2)首先過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為H、P,然后利用ASA證得Rt△FEI≌Rt△GEH,則問題得證;(3)首先過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為M、N,易證得EM∥AB,EN∥AD,則可證得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,又由有兩角對應相等的三角形相似,證得△GME∽△FNE,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可求得答案.
解:(1)∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,∴∠DEF=∠GEB,
又∵ED=BE,∴Rt△FED≌Rt△GEB(ASA),∴EF=EG;
(2)成立,
證明如下:
如圖,過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為H、I,則EH=EI,∠HEI=90°,
∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,∴∠IEF=∠GEH,
∴Rt△FEI≌Rt△GEH(ASA),
∴EF=EG;
(3)如圖,過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為M、N,則∠MEN=90°,
∴EM∥AB,EN∥AD,
∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,
∴, ,
∴即,
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°,
∴∠GEM=∠FEN,
∵∠GME=∠FNE=90°,
∴△GME∽△FNE,
∴,
∴.
“點睛”此題考查了正方形,矩形的性質,以及全等三角形與相似三角形的判定與性質.此題綜合性較強,注意數(shù)形結合思想的應用.
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【題目】如圖,已知A(-4,n)、B(3,4)是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點,過點D(t,0)(0<t<3)作x軸的垂線,分別交雙曲線和直線y1=kx+b于P、Q兩點
(1) 直接寫出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式
(2) 當t為何值時,S△BPQ=S△APQ
(3) 以PQ為邊在直線PQ的右側作正方形PQMN,試說明:邊QM與雙曲線(x>0)始終有交點
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【題目】為了估計湖里有多少條魚,先從湖里撈了50條魚做了記號,然后放回湖里,經過一段時間后,第二次再撈出200條魚,其中有記號的魚有10條,那么估計湖中有_____條魚.
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【題目】因式分解x2y-4y的正確結果是( )
A. y(x+2)(x-2)B. y(x+4)(x-4)C. y(x2-4)D. y(x-2)2
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【題目】如圖,在□ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,BG⊥AE,垂足為G,BG=,則△CEF的周長為( )
A. 8 B. 9.5 C. 10 D. 11.5
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【題目】已知甲同學手中藏有三張分別標有數(shù)字,,1的卡片,乙同學手中藏有三張分別標有數(shù)字1,3,2的卡片,卡片外形相同.現(xiàn)從甲乙兩人手中各任取一張卡片,并將它們的數(shù)字分別記為a,b.
(1)請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果.
(2)現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則:若所選出的a,b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則甲獲勝;否則乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎?請你用概率知識解釋.
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【題目】下列調查中,最適合采用抽樣調查的是( 。
A. 乘客上飛機前對所有乘客的安全檢查B. 了解一批炮彈的殺傷半徑
C. 為了運載火箭能成功發(fā)射,對其所有的零部件的檢查D. 了解七年一班同學某天上網的時間
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【題目】關于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根,且x12+x22=8,求m的值.
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