Question

3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB邊中線(xiàn)CD，得到第一個(gè)三角形△ACD；DE⊥BC于點(diǎn)E，作Rt△BDE斜邊DB上中線(xiàn)EF，得到第二個(gè)三角形△DEF；依此作下去…，則第3個(gè)三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等邊三角形，同理可得被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，再根據(jù)后一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的一半求出第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線(xiàn)，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
同理可得，被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，
∵CD是AB的中線(xiàn)，EF是DB的中線(xiàn)，…，
∴第一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)CD=DB=$\frac{1}{2}$AB=AC=a，
第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)EF=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{1}{2}$a，
第三個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)NF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$a，
…
第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a，
所以，第n個(gè)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$，
所以第n個(gè)三角形的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$a•$\frac{1}{4}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積判斷出后一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)三角形邊長(zhǎng)的一半，求出第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．