Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到了G點(diǎn)．
（1）請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，說出此時(shí)△APC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)了多少度？
（2）求出PG的長度（可以不化簡）．
（3）請你猜想△PGC的形狀，并說明理由．
（4）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，將△ABP沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為90°；
（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）猜想△PGC為直角三角形，理由：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形；
（4）由（3）得到∠PGC為直角，又（2）得到△BPG為等腰直角三角形，即可求出∠BGC的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)可知∠APB等于∠BGC，即可得到∠APB的度數(shù)．

解答：解：（1）旋轉(zhuǎn)后的△BCG如圖所示，
∵正方形ABCD，
∴對應(yīng)邊AB與BC的夾角∠ABC=90°，
則旋轉(zhuǎn)角為90°；

（2）連接PG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG=

BP2+BG2

=2

2

；

（3）△PGC為直角三角形，理由如下：
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=2

2

，
∵PG²+CG²=（2

2

）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC為直角三角形；

（4）由旋轉(zhuǎn)可知∠APB=∠BGC，
由（2）得到△BPG為等腰直角三角形，所以∠PGB=45°，
由（3）得到△PGC為直角三角形，所以∠PGC=90°，
則∠APB=∠BGC=∠PGB+∠PGC=90°+45°=135°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的運(yùn)用．解本題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)角為90°，對應(yīng)邊相等，得出等腰直角三角形．