【題目】在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE.
(1)連接EC,如圖①,試探索線段BC,CD,CE之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)連接DE,如圖②,求證:BD2+CD2=2AD2
(3)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,若BD=,CD=1,則AD的長(zhǎng)為 ▲ .(直接寫(xiě)出答案)
【答案】(1)BC=DC+EC,理由見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)本題中的條件證出△BAD≌△CAE(SAS), 得到BD=CE,再根據(jù)條件即可證出結(jié)果.
(2)由(1)中的條件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出BD2+CD2=,再根據(jù)勾股定理可得出結(jié)果.
(3)作AE⊥AD,使AE=AD,連接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE=,再根據(jù)勾股定理求得DE.
解:(1)結(jié)論:BC=DC+EC
理由:如圖①中,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS);
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即:BC=DC+EC.
(2)BD2+CD2=2AD2,
理由如下:連接CE,
由(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
即:BD2+CD2=ED2;
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,
∴ED2=2AD2;
∴BD2+CD2=2AD2;
(3)AD的長(zhǎng)為(學(xué)生直接寫(xiě)出答案).
作AE⊥AD,使AE=AD,連接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD與△CAE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE=,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE2=CE2-CD2=()2-12=12,
∴DE=2,
∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,
∴AD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校在疫情期間的復(fù)學(xué)準(zhǔn)備工作中,為了貫徹落實(shí)“生命重于泰山,安全至關(guān)重要”的思想,計(jì)劃購(gòu)買室內(nèi)、室外兩種型號(hào)的消毒液.已知每桶室外消毒液的價(jià)格比每桶室內(nèi)消毒液的價(jià)格多30元,買2桶室內(nèi)消毒液和3桶室外消毒液共需340元.
(1)求室內(nèi)、室外兩種型號(hào)消毒液每桶的價(jià)格;
(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購(gòu)買室內(nèi)、室外兩種型號(hào)的消毒液共200桶,總費(fèi)用不高于1.4萬(wàn)元,問(wèn)室內(nèi)消毒液至少要購(gòu)買多少桶?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊AB、BC分別相切于點(diǎn)D、E,過(guò)劣弧 (不包括端點(diǎn)D、E)上任一點(diǎn)作⊙O的切線MN與AB、BC分別交于點(diǎn)M、N.若⊙O的半徑為r,則Rt△MBN的周長(zhǎng)為( )
A. r B. r C. 2r D. r
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D,F(xiàn)分別是AC,AB的中點(diǎn),CE∥DB,BE∥DC.
(1)求證:四邊形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四邊形DBEC面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,等邊的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為_______;點(diǎn)是位于軸上點(diǎn)左邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以為邊在第三象限內(nèi)作等邊,若點(diǎn).小明所在的數(shù)學(xué)興趣合作學(xué)習(xí)小組借助于現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù),課余時(shí)間經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)無(wú)論點(diǎn)在點(diǎn)左邊軸負(fù)半軸任何位置,,之間都存在著一個(gè)固定的一次函數(shù)關(guān)系,請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí),月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn),準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y(元).
(1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出x的取值范圍);
(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為表彰在某活動(dòng)中表現(xiàn)積極的同學(xué),老師決定購(gòu)買文具盒與鋼筆作為獎(jiǎng)品.已知5個(gè)文具盒、2支鋼筆共需100元;3個(gè)文具盒、1支鋼筆共需57元.
(1)每個(gè)文具盒、每支鋼筆各多少元?
(2)若本次表彰活動(dòng),老師決定購(gòu)買10件作為獎(jiǎng)品,若購(gòu)買個(gè)文具盒,10件獎(jiǎng)品共需元,求與的函數(shù)關(guān)系式.如果至少需要購(gòu)買3個(gè)文具盒,本次活動(dòng)老師最多需要花多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一塊長(zhǎng)方形鋼板,工人師傅想把它分成面積相等的兩部分,請(qǐng)你在圖中畫(huà)出作圖痕跡.
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