Question

如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)y=-

3

4

x+3的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)y=

1

8

x2+bx+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．
（1）試求該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A到C以1個(gè)單位長/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，計(jì)算當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)，△OPC是直角三角形？并計(jì)算OP的長度；
（3）點(diǎn)E是線段AD中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，直線EQ把平行四邊形ABCD的面積分成1：2的兩部分？如果存在求出所有滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)，如果不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）運(yùn)用x=0，y=0求出點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，利用△APO∽△AOC，求出t，再求出OP．
（3）分兩種情況，根據(jù)ME把平行四邊形ABCD的面積分成1：2的兩部分，求出M的坐標(biāo)，再求出ME所在的直線解析式，與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由y=-

3

4

x+3，
令x=0，得y=3，所以點(diǎn)A（0，3）；
令y=0，得x=4，所以點(diǎn)C（4，0），
∵△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，3），
將點(diǎn)B（-4，0）、點(diǎn)D（8，3）代入二次函數(shù)y=

1

8

x²+bx+c，可得

2-4b+c=0 8+8b+c=3

，
解得

b=- 1 4 c=-3

，
∴故該二次函數(shù)解析式為：y=

1

8

x²-

1

4

x-3．
（2）如圖，∠OPC=90°，

∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，此時(shí)AP=t，
∵∠OPC=90°，
∴△APO∽△AOC，
∴

AP

AO

=

AO

AC

，即

t

3

=

3

5

解得t=

9

5

，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

9

5

秒時(shí)，△OPC是直角三角形，
OP=

AO2-AP2

=

32-( 9 5 )2

=

12

5

，
（3）①如圖1，ME把平行四邊形ABCD的面積分成1：2的兩部分，

∵E為AD中點(diǎn)，
∴AE=DE=4，
∵梯形BMEA和梯形MCDE的高相等，
（BM+AE）：（DE+CM）=1：2
（BM+4）：（4+8-BM）=1：2
解得BM=

4

3

，
∵OM=OB-BM=4-

4

3

=

8

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

8

3

，0），
∵E的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)ME所在的直線解析式為y=kx+b，

0=- 8 3 k+b 3=4k+b

解得

k= 9 20 b= 6 5

∴y=

9

20

x+

6

5

，
∵y=

1

8

x²-

1

4

x-3．
聯(lián)立組成方程組

y= 9 20 x+ 6 5 y= 1 8 x2- 1 4 x-3

解得

x1= 14-2 259 5 y1= 123-9 259 50

x2= 14+2 259 5 y2= 123+9 259 50

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

14-2 259

5

，

123-9 259

50

）或（

14+2 259

5

，

123+9 259

50

）
②如圖2，ME把平行四邊形ABCD的面積分成1：2的兩部分，

同①可得出CM=

4

3

，
∵OM=OC-CM=4-

4

3

=

8

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

8

3

，0），
∵E的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)ME所在的直線解析式為y=kx+b，

0= 8 3 k+b 3=4k+b

解得

k= 9 4 b=-6

，
∴y=

9

4

x-6，
∵y=

1

8

x²-

1

4

x-3．
聯(lián)立組成方程組

y= 9 4 x-6 y= 1 8 x2- 1 4 x-3

解得

x1=10+ 76 y1= 66+9 76 4

，

x2=10- 76 y2= 66-9 76 4

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10+

76

，

66+9 76

4

）或（10-

76

，

66-9 76

4

），
綜上所述：存在滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)（10+

76

，

66+9 76

4

）或（10-

76

，

66-9 76

4

），或（

14-2 259

5

，

123-9 259

50

）或（

14+2 259

5

，

123+9 259

50

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，難點(diǎn)在（3）題，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分成兩梯形的面積之比求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求直線ME與拋物線的交點(diǎn)，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力．