【題目】如圖,已知⊙O的半徑為2,AB為直徑,CD為弦.AB與CD交于點(diǎn)M,將 沿CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長(zhǎng)OA至P,使AP=OA,連接PC
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)求證:PC是⊙O的切線;
(3)點(diǎn)G為 的中點(diǎn),在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)Q,連接QG交AB于點(diǎn)E.交 于點(diǎn)F(F與B、C不重合).問GEGF是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)2;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題(1)連接OC,根據(jù)翻折的性質(zhì)求出OM,CD⊥OA,再利用勾股定理列式求解即可;
(2)利用勾股定理列式求出PC,然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°,再根據(jù)圓的切線的定義證明即可;
(3)連接GA、AF、GB,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG,然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得,從而得到GEGF=,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.
試題解析:(1)解:如圖,連接OC,∵沿CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,∴OM=OA=×2=1,CD⊥OA,∵OC=2,∴CD=2CM===;
(2)證明:∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=CD=,∠CMP=∠OMC=90°,∴PC===,∵OC=2,PO=2+2=4,∴==16=,∴∠PCO=90°,∴PC是⊙O的切線;
(3)解:GEGF是定值,證明如下:
如圖,連接GA、AF、GB,∵點(diǎn)G為的中點(diǎn),∴,∴∠BAG=∠AFG,又∵∠AGE=∠FGA,∴△AGE∽△FGA,∴,∴GEGF=,∵AB為直徑,AB=4,∴∠BAG=∠ABG=45°,∴AG=,∴GEGF=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年10月18日至27日(共10天)武漢軍運(yùn)會(huì)期間,從19日起武漢體育中心9天中接收觀眾人數(shù)的變化情況如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示經(jīng)前一天少的人數(shù)):
日期 | 19日 | 20日 | 21日 | 2日 | 23日 | 24日 | 25日 | 26日 | 27日 |
人數(shù)變化/萬人 | +0.5 | +0.7 | +0.8 | -0.4 | -0.6 | +0.2 | +0.3 | +0.5 | +0.2 |
(1)請(qǐng)判斷這9天中,游客人數(shù)最多和最少的各是哪一天?它們相差多少萬人?
(2)如果10月18日觀眾人數(shù)為2萬人,平均每人門票100元,請(qǐng)問武漢體育中心在軍運(yùn)會(huì)這10天期間門票總收入為多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解,則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程
(1)在方程①3x﹣1=0,②x﹣(3x+1)=﹣7中,不等式組的關(guān)聯(lián)方程是 ;(填序號(hào))
(2)若不等式組的一個(gè)關(guān)聯(lián)方程的解是整數(shù),則這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是 ;(寫出一個(gè)即可)
(3)若方程10﹣3x=2x,1+x=2(x﹣1)都是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程,求出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明從右邊的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中,觀察得出了下面的五條信息:①a<0,②c=0,③函數(shù)的最小值為-3,④當(dāng)x<0時(shí),y>0,⑤當(dāng)0<x1<x2<2時(shí),y1>y2 , (6)對(duì)稱軸是直線x=2.你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了“讀好書,助成長(zhǎng)”系列活動(dòng),并準(zhǔn)備購(gòu)置一批圖書,購(gòu)書前 ,對(duì)學(xué)生喜歡閱讀的圖書類型進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽查了 名學(xué)生,兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的m= ,n= .
(2)已知該校共有960名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校喜歡閱讀“A”類圖書的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校要舉辦讀書知識(shí)競(jìng)賽,七年(1)班要在班級(jí)優(yōu)勝者2男1女中隨機(jī)選送2人參賽,求選送的兩名參賽學(xué)生為1男1女的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家商店進(jìn)行裝修,若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工,8天可以完成,需付兩組費(fèi)用共3520元,若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天,再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成,需付費(fèi)用3480元,問:
(1)甲,乙兩組工作一天,商店各應(yīng)付多少錢?
(2)已知甲單獨(dú)完成需12天,乙單獨(dú)完成需24天,單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組,商店所需費(fèi)用最少?
(3)若裝修完后,商店每天可贏利200元,你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店?請(qǐng)你幫助商店決策.(可用(1)(2)問的條件及結(jié)論)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E做直線l∥BC.
(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科技改變世界.2017年底,快遞分揀機(jī)器人從微博火到了朋友圈.據(jù)介紹,這些機(jī)器人不僅可以自動(dòng)規(guī)劃最優(yōu)路線,將包裹準(zhǔn)確地放入相應(yīng)的路口,還會(huì)感應(yīng)避讓障礙物,自動(dòng)歸隊(duì)取包裹,沒電的時(shí)候還會(huì)自己找充電樁充電.某快遞公司啟用40臺(tái)A種機(jī)器人、150臺(tái)B種機(jī)器人分揀快遞包裹,A、B兩種機(jī)器人全部投入工作,1小時(shí)共可以分揀0.77萬件包裹;若全部A種機(jī)器人工作1.5小時(shí),全部B種機(jī)器人工作2小時(shí),一共可以分揀1.38萬件包裹.
(1)求兩種機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)各分揀多少件包裹?
(2)為進(jìn)一步提高效率,快遞公司計(jì)劃再購(gòu)進(jìn)A、B兩種機(jī)器人共100臺(tái).若要保證新購(gòu)進(jìn)的這批機(jī)器人每小時(shí)的總分揀量不少于5500件,求至少應(yīng)購(gòu)進(jìn)A種機(jī)器人多少臺(tái)?
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