Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜120°），得△A₁BC₁，交AC于點E，AC分別交A₁C₁、BC于D、F兩點．

（1）如圖①，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）如圖②，當(dāng)α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，求ED的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，然后利用“角邊角”證明△ABE和△C₁BF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=BF，從而得解；
（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠ABC₁=150°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出AB∥C₁D，AD∥BC₁，證明四邊形BC₁DA是平行四邊形，又因為鄰邊相等，所以四邊形BC₁DA是菱形；
（3）過點E作EG⊥AB于點G，等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AG=BG=1，然后解直角三角形求出AE的長度，再利用DE=AD-AE計算即可得解．

解答：解：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α得△A₁BC₁，
∴∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，
在△ABE和△C₁BF中，

∠A=∠C1 AB=BC1 ∠ABE=∠C1BF

，
∴△ABE≌△C₁BF（ASA），
∴BE=BF，
∴A₁B-BE=BC-BF，
即EA₁=FC；

（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵旋轉(zhuǎn)角α=30°，∠ABC=120°，
∴∠ABC₁=∠ABC+α=120°+30°=150°，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=∠C=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°，
∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°，
∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形，
又∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形；

（3）過點E作EG⊥AB，
∵∠A=∠ABA₁=30°，
∴AG=BG=

1

2

AB=1，
在Rt△AEG中，AE=

AG

cos∠A

=

1

cos30°

=

2 3

3

，
由（2）知AD=AB=2，
∴DE=AD-AE=2-

2 3

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，以及解直角三角形，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難度不大，利用好旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小，找出相等的線段是解題的關(guān)鍵．