【題目】已知直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B兩點,若點P、Q分別是線段AB、OB上的動點,且點P不與A、B重合,點Q不與O、B重合.

(1)若OPAB于點P,OPQ為等腰三角形,這時滿足條件的點Q有幾個?請直接寫出相應(yīng)的OQ的長;

(2)當(dāng)點P是AB的中點時,若OPQ與ABO相似,這時滿足條件的點Q有幾個?請分別求出相應(yīng)的OQ的長;

(3)試探究是否存在以點P為直角頂點的RtOPQ?若存在,求出相應(yīng)的OQ的范圍,并求出OQ取最小值時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1) 點Q有三個,OQ的長為2或 ;(2) 2個,OQ的長為2或;(3)存在,OQ取最小值時點P的坐標(biāo)(,).

【解析】

試題分析:(1)如圖1中,滿足條件的點Q有三個,分三種情形討論即可QO=QP,OP=OQ,PO=PQ.

(2)如圖2中,滿足條件的點Q有2個.作OB于,OP于,可以證明滿足條件,理由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

(3)存在.以O(shè)Q為直徑作G,當(dāng)G與AB相切于點P時,OPQ=90°,此時OQ的值最。纱饲蟪鯫Q,即可解決問題.

試題解析:(1)如圖1中,滿足條件的點Q有三個.

理由:作PMOB于M,作OP的垂直平分線交OP于F,交OB于.則=,是等腰三角形,此時=OB=2.

A(0,3),B(4,0),

OA=3,OB=4,AB=5,

OPAB,

OAOB=ABOP,

OP==,

當(dāng)=OP時,是等腰三角形,此時=,

當(dāng)PO=時,PM,

=2OM,

∵∠POM=,PMO=OPB,

∴△OPM∽△OBP,

=OMOB,

OM=,

=.

綜上所述,OPQ為等腰三角形時,滿足條件的點Q有三個,OQ的長為2或

(2)如圖2中,滿足條件的點Q有2個.

理由:作OB于,OP于,

PA=PB,AOB=90°,

PA=PB=PO,

∴∠=ABO,∵∠=AOB,

∴△∽△BAO,

PA=PB,OA,

==OB=2,

∵∠=ABO,=AOB,

∴△∽△BOA,

,

=,

綜上所述,OPQ與ABO相似時,滿足條件的點Q有2個,OQ的長為2或

(3)存在.理由如下:

如圖3中,以O(shè)Q為直徑作G,當(dāng)G與AB相切于點P時,OPQ=90°,此時OQ的值最。

設(shè)OG=GP=r,

AO=AP=3,

PB=AB=AP=2,

在RtPBG中,∵∠GPB=90°,PG=r,BG=4﹣r,PB=2,

r=,

OQ=2r=3,

當(dāng)3OQ4時,OPQ可為直角三角形.

作PMOB于M.

PMOA,

,

,

PM=,BM=

OM=4﹣=,

OQ取最小值時點P的坐標(biāo)().

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分組

分?jǐn)?shù)段(分)

頻數(shù)

A

36x41

2

B

41x46

5

C

46x51

15

D

51x56

m

E

56x61

10

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