Question

8．已知點(diǎn)A（m，n）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$上．
（1）若m=$\frac{1}{n}$，點(diǎn)M（0，3）且S_△AOM=6，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若m=n=2，點(diǎn)A到直線(xiàn)y₂=-x+b的距離為$\sqrt{2}$，點(diǎn)B（p，q）在y₂=-x+b上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，交y₁于點(diǎn)D．當(dāng)0＜p＜q時(shí)，求p•BD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出k，再根據(jù)三角形面積公式可以確定點(diǎn)A橫坐標(biāo)，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，首先判斷直線(xiàn)y₂在點(diǎn)A上方，點(diǎn)B在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng)（不包括點(diǎn)E），構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（m，n）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$上，且m=$\frac{1}{n}$，
∴k=mn=1，
∴y=$\frac{1}{x}$，
∵點(diǎn)M（0，3），
∴OM=3，
∵S_△AOM=6，
∴A的橫坐標(biāo)為±4，
∴m=±4，
∵n=$\frac{1}{m}$，
∴A（4，$\frac{1}{4}$）或（-4，-$\frac{1}{4}$）；
（2）如圖，直線(xiàn)OA與y₂交于點(diǎn)E，
∵AE=$\sqrt{2}$，A（2，2），
∴K=4，y=$\frac{4}{x}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，3），
∵點(diǎn)B（p，q）在y₂=-x+b上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，交y₁于點(diǎn)D．0＜p＜q，
∴點(diǎn)B在點(diǎn)E上方，點(diǎn)F下方，
∴p•BD=p（-p+6-$\frac{4}{p}$）=-p²+6p-4=-（p-3）²+5，
∴p•BD的最大值為5，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)F重合時(shí)取得最小值0，
∵0＜p＜q，
∴p≠3，
∴0≤p•BD＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵，第二個(gè)問(wèn)題需要正確畫(huà)出圖形，判斷點(diǎn)B的位置是關(guān)鍵，屬于中考常考題型．