Question

【題目】如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，，，．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)、，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在， ，，

【解析】

(1)先證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2) 設(shè)直線函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法求出直線函數(shù)關(guān)系式，再假設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得到求解即可得到答案；

(3)根據(jù)勾股定理得到，再分情況討論即可得到答案．

解（1）由題意，，，，

∵

∴，

，

∴

∴

∴

∴

∴

分別把，，代入得

解得，，，

∴

（2）設(shè)直線函數(shù)關(guān)系式為

代入，得，解得，，

∴

設(shè)

∴，

∴，

由題意

解得，，（舍去）

將代入，得

∴

（3）存在

當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是等腰三角形．

由題意，，，

在中，由勾股定理的，

①時(shí)，

∵點(diǎn)到直線的距離是

∴此時(shí)點(diǎn)不存在．

②時(shí)，如圖

作于點(diǎn)，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴或

∴，

③當(dāng)時(shí)，

即

設(shè)，

解得

∴

綜上，，，

此時(shí)，，，．