【題目】如圖,AB是△ABC外接圓的直徑,O為圓心,CHAB,垂足為H,且∠PCA=∠ACH, CD平分∠ACB,交⊙O于點(diǎn)D,連接BD,AP=2.
(1)判斷直線PC是否為⊙O的切線,并說明理由;
(2)若∠P=30°,求AC、BC、BD的長.
(3)若tan∠ACP=,求⊙O半徑.
【答案】(1)PC 是⊙O的切線,理由見解析;(2)AC=2;BC=;BD=;(3)⊙O的半徑為3.
【解析】
(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直的定義得到∠PCA+∠OCA=90°,即可證明PC 是⊙O的切線;
(2)根據(jù)∠P=30°,可求得∠AOC=60°,進(jìn)而得到∠OAC=60°,求出∠PCA=30°,AC=AP=2,利用∠ABC=∠AOC=30°,求出AB=2AC=4,利用勾股定理求出BC,利用垂徑定理得到AD=BD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出BD的長;
(3)根據(jù)直徑和切線的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACH,由tan∠ABC=tan∠ACP=得到,再證明△PAC∽△PCB,得到,求出PC,再求出PB,故可求出半徑的長.
(1)PC 是⊙O的切線
理由:連接OC,
OA=OC
∠OCA=∠OAC
CHAB
∠ACH+∠OAC=90°
∠PCA=∠ACH
∠PCA+∠OAC=90°
即:∠PCA+∠OCA=90°
OC為⊙O的半徑
PC 是⊙O的切線
(2)連接AD,
PC 是⊙O的切線
∠PCO=90°
∠P=30°
∠AOC=60°
OA=OC
∠OAC=60°
∴∠ACP=∠OAC-∠P=30°
AC=AP=2
∠ABC=∠AOC=60°=30°
AB=2AC=
CD平分∠ACB
∠ACD=∠BCD
弧AD與弧BD相等,
AD=BD
AB為⊙O的直徑
∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形;
;
(3)AB為⊙O的直徑,
∠ACB=90°
∠ACH+∠BCH=90°
CHAB
∠B+∠BCH=90°
∠ABC=∠ACH
tan∠ABC=tan∠ACP=
∠PCA=∠ACH
∠PCA=∠ABC
∠P=∠P
△PAC∽△PCB
AP=2
PC=4
PB=8
AB=6
⊙O的半徑為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧交邊于D,E兩點(diǎn)(按照A,D,E,C依次排列,且D、E不重合).過D、E分別作AB和BC的垂線段交于F、G兩點(diǎn),如果線段DF=x,EG=y,則x、y的關(guān)系式為( )
A.20x-15y=B.20x-15y=
C.15x-20y=D.15x-20y=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)落在點(diǎn)處,得到,過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn).,.
(1)求經(jīng)過點(diǎn)、的反比例函數(shù)和直線:的解析式;
(2)過點(diǎn)作軸,求五邊形的面積;
(3)直接寫出當(dāng)時(shí)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形和正方形中,點(diǎn)在上,,,是的中點(diǎn),與交于點(diǎn)0.則的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn),連接AE,過點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)F.將△AMF沿AB翻折得到△ANF.延長DM,AN交于點(diǎn)P. 給出以下結(jié)論①;②;③;④若,則;.其中正確的是( 。
A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在以C(﹣2,0)為圓心,1為半徑的⊙C上,Q是AP的中點(diǎn),已知OQ長的最大值為,則k的值為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),與軸正半軸交于點(diǎn),與軸負(fù)半軸交于點(diǎn),,,.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)是上一點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合),過點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn),在(2)的條件下,點(diǎn)是拋物線對稱軸上一點(diǎn),點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),是否存在點(diǎn)、,使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,,,點(diǎn),分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),且,點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)恰好落在的內(nèi)角平分線上,則長為_______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)著作(九章算術(shù))中有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一.次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤.”其意思為“今有人持金出五關(guān),第關(guān)所收稅金為持金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,第關(guān)所收稅金為剩余金的,關(guān)所收稅金之和,恰好重斤.”若設(shè)這個(gè)人原本持金斤,根據(jù)題意可列方程為__________ .
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