Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），以AB為直徑的⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
（1）求圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）設(shè)M點(diǎn)為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC的解析式；
（3）判定（2）中的直線MC與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)AC、BC，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙P的直徑得到∠ACB=90°，再證明Rt△ACO∽R(shí)t△CBO，利用相似比計(jì)算出OC=4，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）先把（1）軸得到的解析式配成頂點(diǎn)式得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線MC的解析式；
（3）連結(jié)PC，如圖，易得PC=5，PM=

25

4

，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出MC=

15

4

，則根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PCM為直角三角形，∠PCM=90°，即PC⊥MC，則根據(jù)切線的判定定理可得直線MC與⊙P相切．

解答：解：（1）連結(jié)AC、BC，如圖，
∵AB為⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
而∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠BAC=∠BCO，
∴Rt△ACO∽R(shí)t△CBO，
∴OC：OB=OA：OC，即OC：2=8：OC，
∴OC=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+8）（x-2），
把C（0，-4）代入得a•8•（-2）=-4，解得a=

1

4

，
∴拋物線解析式為y=

1

4

（x+8）（x-2）=

1

4

x²+

3

2

x-4；

（2）∵y=

1

4

x²+

3

2

x-4，=

1

4

（x²+6x+9-9）-4=

1

4

（x+3）²-

25

4

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-

25

4

），
設(shè)直線MC的解析式為y=mx+n，
把C（0，-4）、M（-3，-

25

4

）代入得

n=-4 -3m+n=- 25 4

，解得

m= 3 4 n=-4

，
∴直線MC的解析式為y=

3

4

x-4；

（3）直線MC與⊙P相切．理由如下：
連結(jié)PC，如圖，
∵AB為⊙P的直徑，AB=10，
∴PC=5，
∵PM=

25

4

，MC=

32+(- 25 4 +4)2

=

15

4

，
而5²+（

15

4

）²=（

25

4

）²，
∴PC²+MC²=PM²，
∴△PCM為直角三角形，∠PCM=90°，
∴PC⊥MC，
∴直線MC與⊙P相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定定理和三角形相似的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；會(huì)利用勾股定理的逆定理證明垂直；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．