Question

（2012•樂山）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=θ．則：
（1）∠A₁=

θ

2

；
（2）∠A_n=

θ

2n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）與（1）同理求出∠A₂，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的

1

2

，根據(jù)此規(guī)律即可得解．

解答：解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A₁=

θ

2

；

（2）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

•

1

2

θ=

θ

22

，
所以∠A_n=

θ

2n

．
故答案為：（1）

θ

2

，（2）

θ

2n

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．