Question

20．如圖，已知直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在直線y=-x上，若點(diǎn)D與A，B，C是平行四邊形的四個頂點(diǎn)，則線段CD長的最小值為7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情形：①當(dāng)AB∥CD時，CD=AB=10，②當(dāng)CD為對角線時，AB的中點(diǎn)E（4，3），設(shè)C（x，-x），求出CE，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．

解答 解：①當(dāng)AB∥CD時，CD=AB=10，
②當(dāng)CD為對角線時，AB的中點(diǎn)E（4，3），設(shè)C（x，-x），
CE=$\sqrt{（x-4）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+25}$=$\sqrt{2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{2}}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，CE_最小=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
此時CD_最小=7$\sqrt{2}$．
∵7$\sqrt{2}$＜10，
∴CD的最小值為7$\sqrt{2}$．
故答案為7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考常考題型．