Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)T，⊙O₁的弦AT交⊙O₂于點(diǎn)B，AP切⊙O₂于點(diǎn)P，連接AO₁、BO₂．證明：

BO2

AO1

+

AB2

AP2

=1．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),相切兩圓的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由內(nèi)切可證得BO₁∥AO₁，得到線段比例，再由切割線定理把AP²換成AB•AT，整理代入即可證得．

解答：證明：
∵⊙O₁、⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)T，
∴O₁、O₂、T三點(diǎn)共線，
∵O₂B=O₂T，
∴∠T=∠O₂BT，
∵O₁A=O₁T，
∴∠T=∠O₁AT，
∴∠O₂BT=∠O₁AT，
∴BO₁∥AO₁，
∴

BO2

AO1

=

TO2

TO1

，

AB

AT

=

O1O2

TO1

，
∵AP²=AB•AT，
∴

BO2

AO1

+

AB2

AP2

=

TO2

TO1

+

AB

AT

=

TO2

TO1

+

O1O2

TO1

=

TO1

TO1

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查平行線分線段成比例的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用平行線分段成比例，把AP²換成AB•AT．