Question

在四邊形ABCD中，E、G分別是AD、BC的中點，F(xiàn)、H分別是BD、AC的中點．
（1）當AB、CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形？
（2）當AB、CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？
（3）當AB、CD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形？

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）根據(jù)中位線的判定GH=EF=AB，EH=FG=

1

2

CD，所以四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)對角線垂直判定矩形即可；
（2）根據(jù)菱形的判定，四邊都相等的四邊形是菱形，只要證明EF=FG=GH=HE就可以了，這就需要AB=CD這個條件；
（3）首先利用菱形的性質得出平行四邊形ABCD是菱形，再利用正方形的性質與判定得出即可．

解答：（1）當AB⊥CD時，四邊形EFGH是矩形．
證明：∵E、F分別是AD，BD的中點，G、H分別中BC，AC的中點，
∴EF∥AB，EF=

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AB；GH∥AB，GH=

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AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AB⊥CD，
∴四邊形EFGH是矩形．

（2）當AB=CD時，四邊形EFGH是菱形．
證明：∵E、F分別是AD，BD的中點，H，G分別是AC，BC的中點，G、F分別是BC，BD的中點，E，H分別是AD，AC的中點，
∴EF=

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AB，HG=

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AB，F(xiàn)G=

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CD，EH=

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CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．

（3）答：當四邊形ABCD滿足AC=BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形，
證明：∵E、F分別是四邊形ABCD的邊AB、BC的中點，
∴EF∥AC，EF=

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AB，
同理，EH∥BD，EH=

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CD，GF=

1

2

CD，GH=

1

2

AB，
∵AC=BD
∴EF=EH=GH=GF，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評：此題考查了有關的判定：矩形、菱形的判定、正方形的判定、中位線的判定，牢記這幾個判定，解此類問題就輕而易舉了．