Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，動點P從點A出發(fā)，在AC上以每秒5cm的速度向點C勻速運動，同時動點Q從點D出發(fā)，在DA邊上以每秒4cm的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．
（1）若△APQ與△ADC相似，求t的值．
（2）連結(jié)CQ，DP，若CQ⊥DP，求t的值．
（3）連結(jié)BQ，PD，請問BQ能和PD平行嗎？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過P作PM⊥AD于M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求得PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，根據(jù)已知條件推出△PMD∽△QDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)DP交BC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求得NC=$\frac{10-5t}{5t}×8=\frac{16-8t}{t}$，得到BN=8-$\frac{16-8t}{t}$=$\frac{16t-16}{t}$，當(dāng)BQ∥DP，得到四邊形BQDN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得；QD=4t，AQ=8-4t，AP=5t，PC=10-t，
∵△APQ與△ADC相似，
∴情況①$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AD}$，即$\frac{8-4t}{10}=\frac{5t}{8}$，解得：t=$\frac{32}{41}$；
情況②$\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{8-4t}{8}=\frac{5t}{10}$，解得：t=1；

（2）如圖1，過P作PM⊥AD于M，∵∠ADC=90°，∴PM∥CD，∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{AM}{AD}=\frac{AP}{AC}$，
∵AP=5t，
∴$\frac{PM}{6}=\frac{AM}{8}=\frac{5t}{10}$，
∴PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，
∵CQ⊥DP，∴∠1=∠2，
∵∠PMD=∠CDQ=90°，
∴△PMD∽△QDC，
∴$\frac{PM}{QD}=\frac{MD}{DC}$，即$\frac{3t}{4t}=\frac{8-4t}{6}$，
解得：t=$\frac{7}{8}$；

（3）設(shè)DP交BC于N，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△CNP，
∴$\frac{NC}{AD}=\frac{CP}{AP}$，
∴NC=$\frac{10-5t}{5t}×8=\frac{16-8t}{t}$，
∴BN=8-$\frac{16-8t}{t}$=$\frac{16t-16}{t}$，
當(dāng)BQ∥DP，則四邊形BQDN是平行四邊形，
∴BN=QD，
∴$\frac{16t-16}{t}$=4t，
解得：t₁=t₂=2，（不合題意，舍去），
∴不存在這樣的t．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，證得△ADP∽△CNP是解題的關(guān)鍵．