【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,且AB=BC=CD,AB∥CD,連接BD.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的長及⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)BD=12,⊙O的半徑為
【解析】(1)如圖1,作直徑BE,半徑OC,證明四邊形ABDC是平行四邊形,得∠A=∠D,由等腰三角形的性質(zhì)得:∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,可得∠EBD=90°,所以BD是⊙O的切線;
(2)如圖2,根據(jù)三角函數(shù)設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x根據(jù)AB=BC=10=4x,得x的值,求得⊙O的半徑為,作高線CG,根據(jù)等腰三角形三線合一得BG=DG,根據(jù)三角函數(shù)可得結(jié)論.
(1)如圖1,作直徑BE,交⊙O于E,連接EC、OC,
則∠BCE=90°,
∴∠OCE+∠OCB=90°,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四邊形ABDC是平行四邊形,
∴∠A=∠D,
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE,
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠D,
∵∠A=∠E,
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBD=90°,
即∠EBD=90°,
∴BD是⊙O的切線;
(2)如圖2,∵cos∠BAC=cos∠E=,
設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x,
∵AB=BC=10=4x,
x=,
∴EB=5x=,
∴⊙O的半徑為,
過C作CG⊥BD于G,
∵BC=CD=10,
∴BG=DG,
Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC=,
∴,
∴DG=6,
∴BD=12.
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【題目】已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,直線L過AB中點O,過點A、C分別向直線L作垂線,垂足分別為E、F.若CF=1,則EF=__.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=21,BC=13,D是AC邊上一點,BD=12,AD=16,
(1)若E是邊AB的中點,求線段DE的長
(2)若E是邊AB上的動點,求線段DE的最小值.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+x+c(a≠0)與x軸交于點A,B兩點,
其中A(-1,0),與y軸交于點C(0,2).
(1)求拋物線的表達(dá)式及點B坐標(biāo);
(2)點E是線段BC上的任意一點(點E與B、C不重合),過點E作平行于y軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G.
①設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,用含有m的代數(shù)式表示線段EF的長;
②線段EF長的最大值是 .
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【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.
(1)求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)證明AP=AQ.
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【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.
(1)作出△ABC關(guān)于軸對稱的,并寫出三個頂點的坐標(biāo): ( 。,( ),( 。;
(2)直接寫出△ABC的面積為 ;
(3)在軸上畫點P,使PA+PC最小.
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【題目】如圖,點P在⊙O的直徑AB的延長線上,PC為⊙O的切線,點C為切點,連接AC,過點A作PC的垂線,點D為垂足,AD交⊙O于點E.
(1)如圖1,求證:∠DAC=∠PAC;
(2)如圖2,點F(與點C位于直徑AB兩側(cè))在⊙O上,,連接EF,過點F作AD的平行線交PC于點G,求證:FG=DE+DG;
(3)在(2)的條件下,如圖3,若AE=DG,PO=5,求EF的長.
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【題目】已知在四邊形中,,,點,分別在射線,上,滿足.
(1)如圖1,若點,分別在線段,上,求證:;
(2)如圖2,若點,分別在線段延長線與延長線上,請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖,過A(8,0)、B(0,8)兩點的直線y1與直線y2=x+2交于點C.直線y2與x軸、y軸分別交于點D和點E.
(1)動點M從A點出發(fā)沿AB運動,運動的速度是每秒1個單位長度:當(dāng)點M運動到B點時停止運動,設(shè)M運動時間為t秒,△ADM的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(2)在y軸上是否存在點P,使△ACP為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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