Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點(diǎn)G．

（1）若過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線ME，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（請(qǐng)補(bǔ)完整圖形），試問(wèn)：ME＝MG是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的條件下，已知AF＝3，FB＝，求AG與GM的比．

Answer 1

【答案】（1）ME＝MG成立，見(jiàn)解析；（2）AG與GM的比為．

【解析】

（1）連接OE，并延長(zhǎng)EO交⊙O于N，連接BC，DN；由于ME是⊙O的切線，則∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易證得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若證ME=MG，關(guān)鍵就是證得∠N=∠B；可從題干入手：點(diǎn)D是弧ABC的中點(diǎn)，則弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可證得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證．

（2）根據(jù)相交弦定理可求得DF、EF的長(zhǎng)，即可得到DE、AC的長(zhǎng)，易證得△AFG∽△ACB，根據(jù)所得比例線段即可求得AG、GC的長(zhǎng)，再由（1）證得ME=MG，可用MG分別表示出MA、MC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)切割線定理求出MG的長(zhǎng)，有了AG、MG的值，那么它們的比例關(guān)系就不難求出．

解：（1）ME＝MG成立，理由如下：

如圖，連接EO，并延長(zhǎng)交⊙O于N，連接BC，DN；

∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，

∴，

∵點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，

∴弧AD=弧DBC，

∴弧AE=弧DBC，

∴弧AC=弧DBE，即AC＝DE，∠N＝∠B；

∵M(jìn)E是⊙O的切線，

∴∠MEG＝∠N＝∠B，

又∵∠B＝90°﹣∠GAF＝∠AGF＝∠MGE，

∴∠MEG＝∠MGE，故ME＝MG．

（2）由相交弦定理得：DF2＝AFFB＝3×＝4，即DF＝2；

故DE＝AC＝2DF＝4；

∵∠FAG＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB＝90°，

∴△AFG∽△ACB，

∴，即，

解得AG＝，GC＝AC﹣AG＝；

設(shè)ME＝MG＝x，則MC＝x﹣，MA＝x+，

由切割線定理得：ME2＝MCMA，即x2＝（x﹣）（x+），

解得MG＝x＝；

∴AG：MG＝：＝10：3，即AG與GM的比為．