Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），連接AM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．

（1）求證：△CMN∽△BAM；

（2）設(shè)BM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出y的最大值；

（3）當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得下列兩個(gè)條件都成立的b的取值范圍：①點(diǎn)N始終在線段CD上，②點(diǎn)M在某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)D重合．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2），當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，為；（3）b=2a．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，要證△CMN∽△BAM，只需證∠BAM=∠CMN即可；

（2）由△CMN∽△BAM即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式，然后只需運(yùn)用配方法就可求出y的最大值；

（3）由點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），可得0＜x＜b，要滿足條件①，應(yīng)保證當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y≤a恒成立，要滿足條件②，需存在一個(gè)x，使得y=a，綜合條件①和②，當(dāng)0＜x＜b時(shí)y最大值應(yīng)為a，然后結(jié)合（2）中的結(jié)論，就可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAM+∠AMB=90°．∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴△CMN∽△BAM；

（2）∵△CMN∽△BAM，∴．∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，∴，∴=．∵＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，最大值為；

（3）由題可知：當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y的最大值為a，即=a，解得：b=2a．∴要同時(shí)滿足兩個(gè)條件，b的值為2a．