Question

已知：如圖①，正方形ABCD的邊長是a，正方形AEFG的邊長是b，且點F在AD上，連接DB，BF，（以下問題的結果可用a，b表示）．
（1）觀察計算：△DBF的面積S=______
（2）圖形變式：
將圖①中的正方形AEFG繞點A順時針方向旋轉45°得到圖②，其他條件不變，請你求出圖②中△DBF的面積S；
（3）探究發(fā)現(xiàn)：
當a＞2b時，若把圖①中的正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，在旋轉過程中，△DBF的面積S是否能達到最大值、最小值？如果能達到，請畫出圖形，并求出最大值、最小值；如果達不到，請說明理由．（圖③可用來畫圖）．

Answer 1

解：（1）∵AEFG是正方形，且邊長是b，
∴Rt△AEF中，由勾股定理可求AF=b，
∴DF=a-b，
∴S_△DBF=DF•AB=（a-b）a=a²-ab；

（2）∵BD和AF分別是正方形ABCD與AEFG的對角線，
∴∠DBA=∠FAG=45°．
∴BD∥AF
∴S_△DBF=S_△DBA
又∵S_△DBA=BA•AD=a²，
∴S_△DBF=a²；

（3）當a＞2b時，存在最大值和最小值．
∵△BDF的底邊BD=
∴當F點到BD的距離取得最大、最小值時，S_△DBF取得最大值、最小值．
當點C、A、F三點在同一直線上時，如圖③，
連接BF、DF，
S_△DBF的最大值=a（a+b）=a²+ab，
S_△DBF的最小值=a（a-b）=a²-ab．
分析：（1）根據(jù)DF=AD-AF，求三角形的底邊DF，高為AB，根據(jù)三角形的面積公式計算；
（2）由正方形的性質(zhì)可知AF∥BD，則△BDF與△BDA同底等高，根據(jù)S_△DBF=S_△DBA求面積；
（3）如圖，在正方形ABCD外作正方形AEFG，此時，OF值最大，在正方形ABCD內(nèi)作正方形AEFG，此時，OF最小，而BD=a，分別計算OF的最大、最小值，求△DBF的面積的最大值、最小值．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)．關鍵是通過旋轉確定三角形的底和高，發(fā)現(xiàn)三角形底和高的最大值和最小值．