Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)D、與直線BC相交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)R，使點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等？若存在，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEB的面積是△BDE的面積的一半？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點(diǎn)，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)D（1，-4），
易求直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-2），
DE=-2-（-4）=-2+4=2，
∵點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等，
∴①BR₁∥DE且BR₁=DE時(shí)，點(diǎn)R₁的坐標(biāo)（3，-2）；
②點(diǎn)E、R₂關(guān)于BD對(duì)稱時(shí)，設(shè)ER₂與BD相交于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于G，
由勾股定理得，BD=

42+(3-1)2

=2

5

，
∴FD=DE•cos∠BDE=2×

4

2 5

=

4 5

5

，
FG=FD•sin∠BDE=

4 5

5

×

2

2 5

=

4

5

，
DG=FD•cos∠BDE=

4 5

5

×

4

2 5

=

8

5

，
∴點(diǎn)R₂的橫坐標(biāo)是1+

4

5

×2=

13

5

，
縱坐標(biāo)為-2-2×（2-

8

5

）=-

14

5

，
∴R₂的坐標(biāo)為（

13

5

，-

14

5

）；
③點(diǎn)R₁關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)的點(diǎn)R₃的坐標(biāo)時(shí)，
點(diǎn)R₃的橫坐標(biāo)為3-

4

5

×2=

7

5

，
縱坐標(biāo)為-2+2×（2-

8

5

）=-

6

5

，
所以，R₃的坐標(biāo)為（

7

5

，-

6

5

）；
綜上所述，點(diǎn)R為（3，-2）或（

13

5

，-

14

5

）或（

7

5

，-

6

5

）時(shí)，點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等；

（3）∵△PEB的面積是△BDE的面積的一半，
∴點(diǎn)P到DE的距離等于點(diǎn)B到DE的一半，
∵點(diǎn)B到DE的距離為3-1=2，
∴點(diǎn)P到DE的距離為1，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0或2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0²-2×0-3=-3，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2²-2×2-3=-3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）或（2，-3）．