Question

如圖，頂點為D的拋物線y=a（x-5）²-6經(jīng)過點A（，-5），直線CD交y軸于點C（0，4），交x軸于點B．
（1）求拋物線和直線CD解析式；
（2）在直線CD右側(cè)的拋物線上取點E，使得∠EDB=∠CBO，則求點E坐標(biāo)；
（3）點P為射線CD上一點，在（2）條件下，作射線PE，以P為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)PE，使得旋轉(zhuǎn)后的射線交x坐標(biāo)軸于點R，且∠EPR=∠CBO．是否存在點R，使得PE=PR？如果存在，請直接寫出點R坐標(biāo)；不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）將點A（，-5）代入y=a（x-5）²-6，
得-5=a（-5）²-6，解得a=，
所以拋物線解析式為：y=（x-5）²-6，即y=x²-x+；
設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
∵D（5，-6），C（0，4），
∴，解得，
∴直線CD解析式為y=-2x+4；

（2）延長DE交x軸于點M，作DH⊥x軸于點H．
∵∠EDB=∠CBO，∠CBO=∠MBD，
∴∠EDB=∠MBD，
∴MB=MD．
設(shè)點M的坐標(biāo)為（t，0），
y=-2x+4，當(dāng)y=0時，x=2，
∴B（2，0），
∴MB=t-2．
在Rt△DHM中，MD=，
∴t-2=，
解得：t=，
∴M（，0）．
設(shè)DM解析式為：y=mx+n，
則，解得，
∴y=x-．
點E為直線DM和拋物線的交點，
由，解得：或，
∴E（8，-2）；

（3）存在，點R坐標(biāo)為（3-3，0）．理由如下：
設(shè)R（m，0）．
∵D（5，-6），E（8，-2），
∴DE==5．
∵∠EPR=∠CBO=∠MBD，
又∠EPR+∠EPD=∠MBD+∠BRP，
∴∠BRP=∠EPD，
又∠MBD=∠BDE，PR=PE，
∴△BRP≌△DPE，
∴BP=DE=5，BR=DP．
∵B（2，0），D（5，-6），
∴BD==3，
∴PD=BD-BP=3-5，
∴BR=PD=3-5，
∴m-2=3-5，
∴m=3-3，
∴點R坐標(biāo)為（3-3，0）．
分析：（1）將點A（，-5）代入y=a（x-5）²-6，求出a=，即可得到拋物線的解析式；設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，將D（5，-6），C（0，4）兩點的坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式；
（2）延長DE交x軸于點M，作DH⊥x軸于點H．先證明∠EDB=∠MBD，得出MB=MD，設(shè)點M的坐標(biāo)為（t，0），由于B（2，0），D（5，-6），所以t-2=，解方程求出t=，得到M點的坐標(biāo)為（，0），運用待定系數(shù)法求出DM的解析式為y=x-，由于點E為直線DM和拋物線的交點，解方程組，即可求出點E坐標(biāo)；
（3）設(shè)R（m，0）．先根據(jù)兩點間的距離公式求得DE=5，利用AAS證明△BRP≌△DPE，得出BP=DE=5，BR=DP，再根據(jù)兩點間的距離公式求得BD=3，則BR=PD=3-5，由BR=DP得出方程m-2=3-5，解方程求出m的值，得到點R坐標(biāo)，由此得出結(jié)論：在（2）條件下，存在點R，能夠使得PE=PR．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點間的距離公式等知識，綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．