Question

8．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點，且滿足∠BCE=∠DCF，連結(jié)EF．
（1）若AF=1，求EF的長；
（2）取CE的中點M，連結(jié)BM，F(xiàn)M，BF．求證：BM⊥FM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)證明△CBE≌△CDF，得到BE=DF，證明△AEF是等邊三角形，求出EF的長；
（2）延長BM交DC于點N，連結(jié)FN，證明△CMN≌△EMB，得到NM=MB，證明△FDN≌△BEF，得到FN=FB，得到BM⊥MF．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=DC，∠D=∠CBE，
又∵∠BCE=∠DCF，
在△CBE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}\\{∠BCE=∠DCF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF．
又∵AB=AD，
∴AB-BE=AD-DF，即AE=AF，
又∵∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AF，
∵AF=1，
∴EF=1．
（2）證明：如圖1，延長BM交DC于點N，連結(jié)FN，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠NCM=∠BEM，∠CNM=∠EBM
∵點M是CE的中點，
∴CM=EM．
在△CMN與△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCM=∠BEM}\\{∠CNM=∠EBM}\\{CM=EM}\end{array}\right.$，
∴△CMN≌△EMB，
∴NM=MB，CN=BE．
又∵AB=DC．
∴DC-CN=AB-BE，即DN=AE．
∵△AEF是等邊三角形，
∴∠AEF=60°，EF=AE．
∴∠BEF=120°，EF=DN．
∵DC∥AB，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠D=120°，
∴∠D=∠BEF．
在△FDN與△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=EF}\\{∠D=∠BEF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDN≌△BEF，
∴FN=FB，
又∵NM=MB，
∴BM⊥MF

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．