Question

11．已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB，AC相交于D點，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結(jié)論：①雙曲線的解析式為y=$\frac{20}{x}$（x＞0）；②E點的坐標是（4，8）；③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；④AC+OB=12$\sqrt{5}$，其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 過點B作BM⊥x軸于點M，借助菱形與三角形的面積公式即可求出BM的長，在Rt△ABM中，利用勾股定理即可求出AM的長，從而可找出點B的坐標，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出點D的坐標，由點D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出雙曲線的解析式，從而得出①錯誤；由點E的縱坐標結(jié)合雙曲線的解析式即可求出點E的坐標，從而得出②正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出AB∥OC，從而得出∠COA=∠BAM，再根據(jù)正弦的定義即可得出③正確；在Rt△OBM中利用勾股定理即可求出OB的長度，再根據(jù)OB•AC=160即可求出AC的長度，從而得出④正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：過點B作BM⊥x軸于點M，如圖所示．
∵A點的坐標為（10，0），
∴OA=10．
∵四邊形OABC為菱形，且OB•AC=160，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•BM=$\frac{1}{4}$OB•AC=40，AB=OA=10，
∴BM=8．
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=6，
∴OM=OA+AM=16，
∴B（16，8），D（8，4）．
∵點D（8，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴4=$\frac{k}{8}$，k=32，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∴①不正確；
∵點E在雙曲線y=$\frac{32}{x}$上，且E的縱坐標為8，
∴E（$\frac{32}{8}$，8），即（4，8），
∴②正確；
∵四邊形OABC為菱形，
∴AB∥OC，
∴∠COA=∠BAM，sin∠COA=sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴③正確；
在Rt△OBM中，BM=8，OM=16，
∴OB=$\sqrt{B{M}^{2}+O{M}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴AC=4$\sqrt{5}$，OB+AC=12$\sqrt{5}$，
∴④正確．
故選C．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及正弦的定義，解題的關(guān)鍵是逐一分析4條結(jié)論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．