Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，過點D作DE⊥AB于點E，ED、AC的延長線交于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半徑與線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）r=，AE=6．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OD，如圖，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，則∠B=∠ODC，于是可判斷OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD==，則可設(shè)OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=，可得到AE=，接著表示出BE得到，解得x=，于是可得到AE和OD的長．

試題解析：（1）連結(jié)OD，如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線；

（2）在Rt△ODF，sin∠OFD==，設(shè)OD=3x，則OF=5x，∴AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，∴AE==，∵BE=AB﹣AE=6x﹣=，∴，解得x=，∴AE==6，OD==，即⊙O的半徑長為．