Question

已知：如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)1＜x＜2時，求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形可以得出∠A=∠B=90°，由EF⊥DE可以得出∠DEF=90°，從而可以證明∠AED=∠BFE，從而可以證明△ADE∽△BEF；
（2）由（1）可以得出

AD

BE

=

AE

BF

，再由正方形的邊長為4，AE=x，BF=y代入比例式就可以把y的解析式表示出來，化成頂點式就可以求出其最值．
（3）將x的取值范圍代入（2）的解析式就可以求出y的范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°．
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEF=∠ADE．
∴△ADE∽△BEF．
（2）∵△ADE∽△BEF，
∴

AD

BE

=

AE

BF

．
即AD．BF=BE．AE．
∵AD=AB=4，AE=x，BF=y，
∴BE=4-x．
∴4y=（4-x）x，
即y=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
∴當(dāng)x=2時，y的最大值為1．
（3）當(dāng)x=1時，y=

3

4

，
當(dāng)x=2時，y=1，
當(dāng)1＜x＜2時，

3

4

＜y＜1．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值和函數(shù)值的取值范圍．本題難度較大，綜合能力較強．