（1）學(xué)有所用：如圖1，已知AB=1，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），試用一元二次方程求根公式驗(yàn)證黃金比
AC
AB
=
5
-1
2
．

（2）問(wèn)題延伸：根據(jù)以上結(jié)果，我們知道，如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），那么
AC
AB
=
BC
AC
=
5
-1
2
．反之，如果
AC
AB
=
5
-1
2
或
BC
AC
=
5
-1
2
，那么點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
如圖2，在（1）的條件下，取線段AC的黃金分割點(diǎn)C1（AC1＞CC1），據(jù)此解答以下三個(gè)問(wèn)題：
①計(jì)算BC1的長(zhǎng)度，并據(jù)此判斷點(diǎn)C1是否為線段AB的另一個(gè)黃金分割點(diǎn)；
②再取線段AC1的黃金分割點(diǎn)C2（AC2＞C2C1），試用
5
-1
2
的整數(shù)次冪的形式表示線段BC、CC1、C1C2的長(zhǎng)度；
③已知（
5
-1
2
）12=161-72
5
，試求以下代數(shù)式的值（可以直接寫出結(jié)果）：（
5
-1
2
）2+（
5
-1
2
）3+（
5
-1
2
）4+（
5
-1
2
）5+…+（
5
-1
2
）13．
考點(diǎn)：相似形綜合題,黃金分割
專題：數(shù)形結(jié)合
分析：（1）設(shè)AC=x，則有BC=1-x，由點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC）可得
BC
AC
=
AC
AB
，從而得到關(guān)于x的方程，解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題．
（2）①由點(diǎn)C1是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AC1＞CC1）可得
CC1
AC1
=
AC1
AC
=
5
-1
2
，由此可求出AC1、BC1、
BC1
AB
，從而解決問(wèn)題；
②由點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），AB=1即可求出AC、BC，由點(diǎn)C1是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AC1＞CC1）即可求出AC1、CC1，由點(diǎn)C2是線段AC1的黃金分割點(diǎn)（AC2＞C2C1）即可求出C2A、C1C2；
③依據(jù)①可得到以下規(guī)律：BC=AC1，CC1=AC2，C1C2=AC3，…，CnCn+1=ACn+2（n為正整數(shù)）；依據(jù)②可得到以下規(guī)律：CC1=（
5
-1
2
）3，C1C2=（
5
-1
2
）4，…，CnCn+1=（
5
-1
2
）n+3（n為正整數(shù)）．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11=BC11=AB-AC11=AB-C9C10=1-（
5
-1
2
）12，就可解決問(wèn)題．
解答：解：（1）設(shè)AC=x，則有BC=1-x，
∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），
∴
BC
AC
=
AC
AB
，∴AC2=BC•AB，
∴x2=（1-x）•1，
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1=
-1+
5
2
，x2=
-1-
5
2
（舍負(fù)），
∴AC=
-1+
5
2
，∴
AC
AB
=
5
-1
2
．

（2）①∵點(diǎn)C1是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AC1＞CC1），
∴
CC1
AC1
=
AC1
AC
=
5
-1
2
，
∴AC1=
5
-1
2
AC=（
5
-1
2
）2，
∴BC1=AB-AC1=1-（
5
-1
2
）2=1-
6-2
5
4
=
5
-1
2
，
∴
BC1
AB
=
5
-1
2
，
∴點(diǎn)C1是線段AB的另一個(gè)黃金分割點(diǎn)．

②∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），
∴
AC
AB
=
BC
AC
=
5
-1
2
，
∵AB=1，∴AC=
5
-1
2
，BC=
5
-1
2
AC=（
5
-1
2
）2，
∵點(diǎn)C1是線段AC的黃金分割點(diǎn)（AC1＞CC1），
∴
CC1
AC1
=
AC1
AC
=
5
-1
2
，
∴AC1=（
5
-1
2
）2，CC1=
5
-1
2
AC1=（
5
-1
2
）3．
∵點(diǎn)C2是線段AC1的黃金分割點(diǎn)（AC2＞C2C1），
∴
C1C2
C2A
=
C2A
C1A
=
5
-1
2
，
∴C2A=（
5
-1
2
）3，C1C2=
5
-1
2
C2A=（
5
-1
2
）4，
∴線段BC長(zhǎng)為（
5
-1
2
）2，線段CC1長(zhǎng)為（
5
-1
2
）3，線段C1C2長(zhǎng)為（
5
-1
2
）4．

③依據(jù)①可得到以下規(guī)律：BC=AC1，CC1=AC2，C1C2=AC3，…，CnCn+1=ACn+2（n為正整數(shù)）；
依據(jù)②可得到以下規(guī)律：CC1=（
5
-1
2
）3，C1C2=（
5
-1
2
）4，…，CnCn+1=（
5
-1
2
）n+3（n為正整數(shù)）．
∴（
5
-1
2
）2+（
5
-1
2
）3+（
5
-1
2
）4+（
5
-1
2
）5+…+（
5
-1
2
）13
=BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11=BC11
=AB-AC11=AB-C9C10
=1-（
5
-1
2
）12
=1-（161-72
5
）
=72
5
-160．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割、解一元二次方程等知識(shí)，考查了規(guī)律探究，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道考查能力的好題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若F為
CD
上異于C、D的點(diǎn)，線段AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
①直接寫出∠CFE的度數(shù)；
②用含b的代數(shù)式表示FA•FB；
（2）設(shè)b≥5
2
，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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因式分解：
（1）2m2-8n2=
 
；
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．

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．

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（2）
2
3
x-5=-
1
2
x-3．

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