Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BD是△ABC角平分線，求tan15°的值．（提示：過點D作DE⊥AB．垂足為點E．）

Answer 1

分析 設AC=a，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，利用∠ABC的正切可表示出BC=$\sqrt{3}$a，過點D作DE⊥AB．垂足為點E，如圖，根據(jù)角平分線性質得DE=DC，∠DBC=15°，設CD=x，則DE=x，AD=a-x，在Rt△ADE，根據(jù)∠A的正弦得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，即x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），所以x=$\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}$，在Rt△BDC中，利用正切的定義可求出tan15°的值．

解答 解：設AC=a，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=$\frac{a}{tan30°}$=$\sqrt{3}$a，
過點D作DE⊥AB．垂足為點E，如圖，
∵BD是△ABC角平分線，
∴DE=DC，∠DBC=15°，
設CD=x，則DE=x，AD=a-x，
在Rt△ADE，∵sinA=$\frac{DE}{AD}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，即x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），
∴x=$\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}$，
在Rt△BDC中，tan∠DBC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}a}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
即tan15°=2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是靈活運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．