Question

如圖，已知⊙O的半徑為4，弦BC長為4

3

，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C點除外）
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）若AB=AC，則△ABC的面積是多少？

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）證明BD=CD=2

3

；證明sin∠OBD=

OD

OB

=

1

2

，得到∠OBD=30°；求出∠BOC=120°，得到∠BAC=60°．
（2）求出OD=2，得到A′D=6，問題即可解決．

解答：解：如圖，連接OB、OC；過點O作OD⊥BC；
延長DO交⊙O于點A′，連接A′B、A′C；
（1）∵OD⊥BC，
∴BD=CD=2

3

，而OB=4，
∴sin∠OBD=

OD

OB

=

1

2

，
∴∠OBD=30°；同理可求∠OCD=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BAC=

1

2

×120°=60°．
（2）如圖，
∵A′D⊥BC，且BD=CD，
∴A′B=A′C；
∵AB=AC，
∴點A與點A′重合；由勾股定理得：
OD2=42-(2

3

)2，
∴OD=2，A′D=6；
∴△ABC的面積=

1

2

×4

3

×6=12

3

．

點評：該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線；應牢固掌握有關定理．