Question

【題目】已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)的距離相等，且OB＝OC。

（1）如圖①，若點(diǎn)O在BC上，求證：AB＝AC；

（2）如圖②，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，上題的結(jié)論還成立嗎？為什么？

（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示。

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）不一定成立，圖詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件易證Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，即可證得AB=AC；（2）結(jié)論成立，根據(jù)已知條件易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，易證得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AB=AC；（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)重合時(shí)，類(lèi)比（1）的方法可證AB=AC；當(dāng)∠A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OA，由題意可得OD=OE，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理可得點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上，易證△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．

（1）由題意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，上題的結(jié)論成立,理由如下：

由題意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)重合時(shí)AB=AC，否則AB≠AC．

證明：①當(dāng)∠A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)重合時(shí)（如圖3），過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠DBC=∠ECB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

②當(dāng)∠A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與邊BC的垂直平分線(xiàn)不重合時(shí)（如圖4），

過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OA，由題意可得OD=OE，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理可得點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上，易證△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．