Question

1．如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D為AB的中點，BE⊥BC，BE=AD，AE分別交CD于F，交BC于K．若DF=1，則KC的長為$\frac{3\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 要求KC的長，需要作出合適的輔助線，根據(jù)題目中的條件，我們可以的得到△AMK和△EBK的關(guān)系，從而可以得到BK與MK的關(guān)系，由直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和三角形相似的知識，可求得CD的長，DK、CK與BK的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理可以解答本題．

解答 解：作AM⊥BC于點M，連接DK，作BN∥DF，
∵AM⊥BC，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠AMB=90°，∠ABM=∠ACM=30°，點M為BC的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}AB$，
又∵D為AB的中點，BE⊥BC，BE=AD，
∴∠EBK=90°，AD=$\frac{1}{2}AB$=BE，
∴AM=BE，
∵∠BKE=∠MKA，
∴△BEK≌△MAK（AAS），
∴BK=MK，
∴BK=$\frac{1}{3}$KC，點K為BM的中點，
∴DK∥AM，∠DKB=∠AMB=90°，
∵點D為AB的中點，DF∥BN，DF=1，
∴BN=2DF=2，△CFK∽△BNK，
∴$\frac{CF}{BN}=\frac{KC}{KB}$，
即$\frac{CF}{2}=\frac{KC}{\frac{1}{3}KC}$，得CF=6，
∵DF=1，
∴DC=7，
設(shè)BK=a，則KC=3a，
∵∠DKB=90°，∠DBK=30°，BK=a，
∴DK=BK•tan30°=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，
∵∠DKC=90°，
∴CD²=DK²+KC²，
即${7}^{2}=（\frac{\sqrt{3}a}{3}）^{2}+（3a）^{2}$，
解得，a=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴3a=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$，
即KC=$\frac{3\sqrt{21}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題考查相似相綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，做出合適的輔助線，作出所求問題需要的條件，利用三角形全等、三角形相似和勾股定理的相關(guān)知識進(jìn)行解答．