Question

13．等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F(xiàn)為AB上一點，連接CF，過B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H，延長BH到點E，連接AE．
（1）當∠EAB=90°，AE=1，F(xiàn)為AB的三等分點時，求HB的長；
（2）當∠E=45°時，求證：EG=CG；
（3）在AB上取點K，使AK=BF連接HK并延長與CF的延長線交于點P，若G為CP的中點，請直接寫出AH、BH與CP間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①當BF=$\frac{1}{3}$AB時，如圖1，證明△EAB≌△FBC，得BF=AE=1，由勾股定理求出BE的長，再由AE∥BC得$\frac{AE}{BC}=\frac{EH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，則BH=$\frac{3}{4}$BE，代入得出結論；
②當AF=$\frac{1}{3}$AB時，如圖2，同理得$\frac{AE}{BC}=\frac{EH}{HB}$=$\frac{2}{3}$，則BH=$\frac{3}{5}$BE，代入得出結論；
綜合①②得出HB的長；
（2）如圖3，作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形，證明△AMB≌△BGC，則BM=CG，AM=BG，由∠E=45°，得△AME是等腰直角三角形，則EG=BM，所以EG=CG；
（3）作輔助線構建全等三角形和等邊三角形，先證明△MAB≌△FBC和△MAH≌△KAH，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理列等式，求出∠P=30°，由等邊△RHB得∠ABH=∠RBC，則△ABH≌△CBR，所以RC=AH，在直角△GHC中利用30°角的余弦列式得出CH=$\frac{CG}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，即RH+RC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，從而得出結論．

解答 解：（1）F為AB的三等分點時，分兩種情況：
①當BF=$\frac{1}{3}$AB時，如圖1，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵BH⊥CF，
∴∠BGC=90°，
∴∠EBC+∠FCB=90°，
∴∠ABE=∠FCB，
∵∠BAE=∠ABC=90°，AB=BC，
∴△EAB≌△FBC，
∴BF=AE=1，
∵BF=$\frac{1}{3}$AB，
∴AB=3，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠EAB+∠ABC=90°+90°=180°，
∴AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EH}{HB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$BE=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$；
②當AF=$\frac{1}{3}$AB時，如圖2，
同理得△EAB≌△FBC，則AE=BF=1，
∴AB=$\frac{3}{2}$
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$
∵AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EH}{HB}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BH=$\frac{3}{5}$BE=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3\sqrt{13}}{10}$
∴HB的長為$\frac{3\sqrt{10}}{4}$或$\frac{3\sqrt{13}}{10}$；
（2）如圖3，過A作AM⊥BE于M，則∠AMB=∠BGC=90°，
∵∠MAB+∠ABM=90°，∠ABM+∠CBE=90°，
∴∠MAB=∠CBE，
∵AB=BC，
∴△AMB≌△BGC，
∴BM=CG，AM=BG，
∵∠E=45°，AM⊥BE，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM=EM，
∴EM=BG，
∴EM+MG=BG+MG，
即EG=BM，
∴EG=CG；
（3）如圖4，AH+BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CP，理由是：
過A作AM⊥AB，交BH延長線于M，
得△MAB≌△FBC，
∴AM=BF=AK，∠AMB=∠CFB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵∠MAB=90°，
∴∠MAH=45°，
∴∠MAH=∠CAB，
∵AH=AH，
∴△MAH≌△KAH，
∴∠AMB=∠AKH，
∴∠AKH=∠CFB，
∵∠AKH=∠PKF，∠CFB=∠PFK，
∴∠PKF=∠PFK，
∵FC⊥BH，G是PC中點，
∴CH=PH，
∴∠AHK=2∠P，
在△PFK中，∠PKF=$\frac{180°-∠P}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠P，
則90°-$\frac{1}{2}$∠P+45°+2∠P=180°，
解得∠P=30°，
在CH上取一點R，使RH=BH，連接BR，
∴∠RHB=$\frac{180°-∠AHK}{2}$=60°，
∴△RHB是等邊三角形，
∴BH=BR=RH，
∵∠CAB=∠ACB=45°，∠AHB=180°-60°=120°，∠BRC=180°-60°=120°，
∴∠ABH=∠RBC，
∴△ABH≌△CBR，
∴AH=CR，
∵cos30°=$\frac{CG}{CH}$，
∴CH=$\frac{CG}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，
∴RH+RC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CG，
∵CG=$\frac{1}{2}$PC，RH=BH，BC=AH，
∴AH+BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、等腰三角形等圖形的性質(zhì)和判定，綜合性較強；在第一問中，F(xiàn)為AB的三等分點時，要分兩種情況進行討論，根據(jù)勾股定理和平行線分線段成比例定理得出結論；在證明兩條線段相等時，如果不能直接得出，可以考慮利用第三線段得出，也可以利用等式的性質(zhì)和線段的和差關系得出，本題的后兩問就是利用了這個方法．