Question

18．已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=$\sqrt{5}$，分別以AC、AB為邊在△ABC外作等邊△ACD和等邊△ABE，連接BD、CE，則BD的長(zhǎng)為3．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠DAC=60°，則∠BAD=∠EAC，再根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ACE≌△ADB，根據(jù)全等的性質(zhì)得出BD=CE，再證出∠CBE=90°，由勾股定理求出CE，即可得到結(jié)果．

解答 證明：∵△ABE和△ACD是等邊三角形，
∴BE=AE=AB=2，AD=AC，∠ABE=∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠CAB，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ACE和△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=90°，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=3，
∴BD=3；
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．