Question

12．如圖，已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，作直線CD，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，若以P為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．

Answer 1

分析 利用拋物線與坐標(biāo)的交點(diǎn)問題求出A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸方程和D點(diǎn)坐標(biāo)，則可利用待定系數(shù)法求出CD的解析式，過P點(diǎn)作PH⊥直線CD于H，連結(jié)PB，CD交x軸于E點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn)，如圖，易得F和E點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（4，t），于是根據(jù)切線性質(zhì)得到PH=PB，然后證明Rt△DPH∽R(shí)t△DEF，通過相似比建立t的方程，再方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=0，解得x₁=-1，x₂=9，則A（-1，0），B（9，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=-3，則C（0，-3），
∵y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=$\frac{1}{3}$（x-4）²-$\frac{25}{3}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-$\frac{25}{3}$），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，-3），D（4，-$\frac{25}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4k+b=-\frac{25}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-3，
過P點(diǎn)作PH⊥直線CD于H，連結(jié)PB，CD交x軸于E點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn)，如圖，則F（4，0），E（-$\frac{9}{4}$，0），
∴EF=4-（-$\frac{9}{4}$）=$\frac{25}{4}$，F(xiàn)B=$\frac{25}{3}$，
∴DE=$\sqrt{F{D}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{125}{12}$，
設(shè)P（4，t），則PD=t+$\frac{25}{3}$，PB=$\sqrt{（4-9）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
∵以P為圓心的圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，
∴PH=PB=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
∵∠PDH=∠EDF，
∴Rt△DPH∽R(shí)t△DEF，
∴$\frac{PH}{EF}$=$\frac{PD}{ED}$，即$\frac{\sqrt{25+{t}^{2}}}{\frac{25}{4}}$=$\frac{t+\frac{25}{3}}{\frac{25}{12}}$，
整理得8t²-75t=0，解得t₁=0，t₂=$\frac{75}{8}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．
故答案為（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和切線的性質(zhì)；會(huì)求拋物線和一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)應(yīng)用相似比建立線段之間的關(guān)系．