Question

6．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，則四邊形ADFE與△ABC的面積之比為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作輔助線，作出三角形各自的高線，把四邊形分成兩個(gè)三角形，則四邊形ADFE的面積=S_△ADE+S_△DEF，根據(jù)相似三角形的判定得△ADE∽△ABC，則$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，代入面積公式求比值即可．

解答 解：∵且$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴DE∥BC，
連接DE，過(guò)A作AM⊥BC，交DE于G，則AM⊥DE，過(guò)F作FN⊥DE，垂足為N，
∴AG+FN=AM，
∴S_{四邊形ADFE}=S_△ADE+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×AG+$\frac{1}{2}$×DE×FN=$\frac{1}{2}$×DE×（AG+FN）=$\frac{1}{2}$×DE×AM，
∴$\frac{{S}_{四邊形ADFE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×DE×AM}{\frac{1}{2}×BC×AM}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似得出邊長(zhǎng)的比；本題的關(guān)鍵是找出兩直角三角形高的和與△ABC的高的關(guān)系．